AB為圓O直徑，AB長為4公分，P為AB弧上的點，過P做切線PQ，過A做AC垂直PQ且交BP射線於D，若AP比BP等於2比1，則三角形ABD面積為何?國中 發表回應前，請先登入 回應 hansonyu123 Re: 一題幾何 2012-11-27 05:23 引用： wayne123tw 寫道: AB為圓O直徑，AB長為4公分，P為AB弧上的點，過P做切線PQ，過A做AC垂直PQ且交BP射線於D，若AP比BP等於2比1，則三角形ABD面積為何? (以下圓的基本知識都略過不證) 第一步：求出AP、BP 由直角三角形APB，畢氏定理知 AP:BP:AB=2:1:√5 又AB=4，故AP=8√5/5 BP=4√5/5 第二步：求出POB在OB上的高 做PE垂直AB於E，設AE=x 由畢氏定理知 PE^2=(8√5/5)^2-x^2 也等於(4√5/5)^2-(4-x)^2 故64/5 -x^2=16/5-x^2+8x-16 x=16/5，PE=8/5 第三步：解出相似關係 可知OP垂直PQ，又AD垂直PQ 從而OP平行AD 又AO=OB，故OP為三角形ADB的中位線 第四步：求出面積 △POB=OB*PE/2=8/5 =>△ADB=4△POB=32/5 jhan Re: 一題幾何 2012-11-27 12:07 設線段BP長x，AP長2x x^2+(2x)^2=4^2 所求=2x^2=32/5 hansonyu123 Re: 一題幾何 2012-11-28 04:50 引用： jhan 寫道: 設線段BP長x，AP長2x x^2+(2x)^2=4^2 所求=2X^2=32/5 嗯…這樣比較不會錯… 簡單來說就是△ABD=AD*BP/2=2AP*BP/2=AP*BP (因為相似關係有AD=2AP) 然後就用樓上的解囉
hansonyu123 Re: 一題幾何 2012-11-27 05:23 引用： wayne123tw 寫道: AB為圓O直徑，AB長為4公分，P為AB弧上的點，過P做切線PQ，過A做AC垂直PQ且交BP射線於D，若AP比BP等於2比1，則三角形ABD面積為何? (以下圓的基本知識都略過不證) 第一步：求出AP、BP 由直角三角形APB，畢氏定理知 AP:BP:AB=2:1:√5 又AB=4，故AP=8√5/5 BP=4√5/5 第二步：求出POB在OB上的高 做PE垂直AB於E，設AE=x 由畢氏定理知 PE^2=(8√5/5)^2-x^2 也等於(4√5/5)^2-(4-x)^2 故64/5 -x^2=16/5-x^2+8x-16 x=16/5，PE=8/5 第三步：解出相似關係 可知OP垂直PQ，又AD垂直PQ 從而OP平行AD 又AO=OB，故OP為三角形ADB的中位線 第四步：求出面積 △POB=OB*PE/2=8/5 =>△ADB=4△POB=32/5
hansonyu123 Re: 一題幾何 2012-11-28 04:50 引用： jhan 寫道: 設線段BP長x，AP長2x x^2+(2x)^2=4^2 所求=2X^2=32/5 嗯…這樣比較不會錯… 簡單來說就是△ABD=AD*BP/2=2AP*BP/2=AP*BP (因為相似關係有AD=2AP) 然後就用樓上的解囉
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hansonyu123
Re: 一題幾何
2012-11-27 05:23(以下圓的基本知識都略過不證)
第一步：求出AP、BP
由直角三角形APB，畢氏定理知
AP:BP:AB=2:1:√5
又AB=4，故AP=8√5/5 BP=4√5/5
第二步：求出POB在OB上的高
做PE垂直AB於E，設AE=x
由畢氏定理知
PE^2=(8√5/5)^2-x^2 也等於(4√5/5)^2-(4-x)^2
故64/5 -x^2=16/5-x^2+8x-16
x=16/5，PE=8/5
第三步：解出相似關係
可知OP垂直PQ，又AD垂直PQ
從而OP平行AD
又AO=OB，故OP為三角形ADB的中位線
第四步：求出面積
△POB=OB*PE/2=8/5
=>△ADB=4△POB=32/5
jhan
Re: 一題幾何
2012-11-27 12:07x^2+(2x)^2=4^2
所求=2x^2=32/5
hansonyu123
Re: 一題幾何
2012-11-28 04:50嗯…這樣比較不會錯…
簡單來說就是△ABD=AD*BP/2=2AP*BP/2=AP*BP
(因為相似關係有AD=2AP)
然後就用樓上的解囉