中國古代十部算經

中國古代十部算經

“同學們，這個櫥櫃裏陳列的是我國古代《十部算經》的宋刻本（見圖9—1—1）。”講解員小姐指著櫥櫃裏的線裝書對大家說。
我國古代數學經過了一個漫長的發展過程。在這個過程中，不僅湧現出釵h傑出的數學家，而且也出現了釵h優秀的數學著作。
從目前已有的歷史文獻和考古資料看，我國最早的一部數學專著，當推《算數書》。《算數書》成書的年代，在漢高祖（西元前206年）到漢文帝（西元前179年）這段時間中。
1983年12月，考古人員從湖北江陵張家山247號漢墓發掘出一批竹簡，隨後從中整理出一部不見於著錄、早已失傳的古代數學專著——《筭數書》（見圖9—1—2），筭，算的古體字。《筭數書》成書的年代，在漢高祖（西元前206年）到漢文帝（西元前179年）這段時間。
《筭數書》的出土，引起國際數學史界的注意。2002年8月15日至18日在西安舉行的數學史國際會議上，來自美國的數學史專家道本（Josephw•Dauben）做了“關於《筭數書》的初步研究”的報告，美國加州大學聖達戈分校的美籍華人科學史專家程貞一做了“《筭數書》和盈不足方法”的報告，中國的幾位學者也做了有關《筭數書》的研究報告。《筭數書》的研究成為這次大會的一個討論熱點。
《筭數書》是一部數學問題集。全書有近70個題名。題名有的以計算方法命名，如“相乘”、“分乘”、“約分”、“合分”、“徑分”等；也有的以該題正文中的主題詞命名，如“共買材”、“狐出關”、“息錢”、“飲漆”、“稅田”、“賈鹽”、“粟求米”、“負炭”、“分錢”、“方田”、“囷說芋B“以圜材方”、“以方材圜”、“裏田”等。該書依“題——答——術”的體例編寫。“題”，指命題，即數學問題；“答”，指解答，即對例題的解答；“術”，指由例題的解答歸納出該類問題的一般演算法。全書按照內容可以分為兩類：一類是整數和分數的四則運算法則；另一類是跟當時生產、生活實際密切相關的各種應用題及解法。如“羽矢”是有關造箭的應用題、“旋粟”是有關農業估產的應用題、“息錢”是有關借貸的應用題。依現代數學分類法，這些應用題有的屬於算術問題，有的屬於幾何問題。考古人員認為，《筭數書》可能是秦漢官吏，尤其是負責經濟管理工作的官吏學習數學知識的課本和工具書。
《筭數書》涉及的算術知識包括整數、分數、比例、盈不足等問題。書中沒有完整地敍述整數的運算，只是專門提出了整數的進位元，“一乘十，十也；一乘十萬，十萬也；十乘十萬，百萬。十乘千，萬也；十乘萬，十萬也；十乘十萬，百萬；十乘百萬，千萬。百乘萬，百萬；千乘萬，千萬。半乘百，五十；半乘千，五百；半乘萬，五千。”其間各數全都是十進位制。十進位值制記數法簡捷、明快、實用，運算方便。馬克思稱之為人類“最美妙的發明之一”。
《筭數書》全面介紹了分數的性質和運算法則，包括通分、約分、分數的擴大、縮小及四則運算。有關比例的計算題約占全書內容的一半，有正比例、反比例、分配比例、連比例、複比例，包含了現代數學全部的比例類型。《筭數書》中還有三道盈不足的問題。典型例題是“分錢”，“分錢人二而多三，人三而少二，問幾何人，錢幾何？得曰：五人，錢十三。術曰：嬴（盈）不足五乘母，並之為實，子相從為法。皆贏若不足，子互乘母而各異直之，以子少者除子多者，餘為法，以不足為實。”其解法為：⑴根據題目所給條件列成2/3，3/2；⑵分子部分各是盈、不足之數。它們交叉相乘得4和9。⑶以4＋9作被除數，以分子2＋3作除數，得13/5，此為每人分得錢數。⑷按“置所出率，以少減多，餘，以約法，實”，即3－2＝1，故得錢數13，人數5。通過兩次假設——盈和不足，使不能用算術方法直接求解的問題獲得解答。
《筭數書》涉及的幾何知識包括面積和體積兩個方面的問題。面積有9個題名，其中6個題名是有關土地面積計算的。它們是“裏田”、“少廣”、“啟廣”、“啟從（縱）”、“大廣”和“方田”。另外，“繒幅”，涉及面積求法；“以睘（圜）材方”和“以方材睘（圜）”是介紹圓與內接正方形與內切圓之間關係的問題。體積有6個題名。它們是“除”、“鄆都”、“芻”、“旋粟”、“囷說貝M“睘（圜）亭”。它們介紹了正圓錐體、圓臺體、楔形體、上、下底為矩形的長方台體等六種形狀幾何體體積的求解方法。這些知識應當跟戰國時期築城、挖壕、建倉和造房等工程的興建、維修計算工作量並合理分配勞動力有關係。
《筭數書》比傳世的《九章算術》成書年代約早200年。它的出土，使我們瞭解到西元前2世紀，甚至更早一些時候，中國數學發展的水準和數學專著的編纂水準，形成以下幾點認識：
第一，《筭數書》記錄了當時世界上最先進的分數四則運算和比例演算法。科學的分數概念和運算法則，是中國古代數學家建立起來的。古埃及人曾有比較完整的分數形式，但由於太繁複，不便於運算。這就影響了古埃及算術的發展，後來也給希臘數學的發展設置了障礙。在希臘數學中缺乏分數約分和通分的法則，分數四則運算則更在其後。西元7世紀，系統的分數概念和運算法則才在印度流行，而歐洲還要遲得多。
第二，盈不足術在中國出現的時間不會晚於西元前2世紀。在阿拉伯和歐洲早期的數學著作中，它被稱為“契丹演算法”。“契丹”是當時西方和阿拉伯人對中國的稱呼。由此可見，盈不足術是中國古代數學家的獨創。
第三，《筭數書》中的題名“除”，即羨除。依魏晉之際傑出數學家劉徽的解釋：羨除，“實為隧道也。”按例題所述是楔形體，其體積求解公式是中國古代數學家的首創。
第四，《筭數書》採用“題——答——術”的編纂體例具有注重實用，著眼發展，便於普及的優點。例題提出的數學問題來源於社會實踐，伴隨著社會實踐的發展，可以不斷收納新的問題，推動數學發展。例如從春秋戰國時期起，漆器逐漸興起，到秦漢時期終於取代了青銅器。生產漆器對生漆的需要量不斷加大。而漆樹只能生長在黃河中游的部分地區和長江流域的部分地區，產量很有限。為了保證生漆的供應，政府在生漆產地設立漆園，派專門官吏管理。生漆要飲水，飲水的多少決定生漆的品質。法律規定，徵收生漆要到官府試水、飲水。管理者必須掌握飲水的計算方法。《筭數書》中“飲漆”，就是這種測試生漆品質的計算方法。它納入《筭數書》肯定比“方田”要晚。在解決問題的方法上，由具體事例入手，然後歸納出同類問題的一般解決辦法，即“答”後面的“術”。從全書的體例結構看，它是一種開放的歸納體系。這種編纂體例直接影響著《九章算術》，並成為中國古代數學著作的傳統。
在《算數書》出土之前，《漢書•藝文志》中記載的數學著作，只有2種。到了《隋書•經籍志》中，已增加到27種。《舊唐書•經籍志》中，收錄了19種，到《新唐書•藝文志》中，就有35種了。其中以李淳風等人奉命注釋的十部算經最為有名。
李淳風（西元602－670年）是唐代岐州雍（今陝西鳳翔）人。他的父親李播在隋朝時曾擔任過地方官員，“以秩卑不得志，棄官而為道士。”李播“頗有文學，自號黃冠子，注《老子》，撰方志圖文集十卷，”並做《天文大象賦》。這些，對李淳風一生的學術取向，無疑有一定的影響。《舊唐書》本傳說李淳風“幼俊爽，博涉群書，尤明天文曆算陰陽之學。” 早在貞觀（西元627－649年）初年，李淳風在李唐王朝就嶄露頭角了，而起因就是由於他的天文學造詣。唐初行用的曆法是傅仁均編撰的《戊寅元曆》，這部曆法存在一定的缺陷，李淳風對之做了詳細研究，提出了修改意見，唐太宗派人考察，採納了他的部分建議。在古代，曆法編撰是專門之學，一般學者很難問津，而李淳風對《戊寅元曆》提出修訂意見時才20多歲，這自然要引起人們注意。他也因此得到褒獎，被授予太史丞，進入太史局任職，從此開始了他的官方天文學家的生涯。他精通天文、曆算，在數學方面最主要的工作是在656年（唐顯慶元年），奉命注釋的十部古代算經。這十部算經是：《周髀算經》、《九章算術》、《孫子算經》、《五曹算經》、《張邱建算經》、《夏侯陽算經》、《五經算術》、《海島算經》、《綴術》、《緝古算經》。書成之後，唐高宗李治下令國學行用。可見這是一項影響很大的權威性工作。
李淳風等人的注釋工作，為後人提供了學習的方便。以後《綴術》失傳了，幸虧有李淳風等人在注《九章算術》時，徵引了祖沖之父子在《綴術》中對球體體積的研究成果，才使後人得知這一寶貴的數學遺產。
隋唐時代，十部算經是考試取仕的必修科目，由此可見它的重要性。
清代翰林院編修李潢在編輯《四庫全書》時，徵集民間善本古書，其中徵集到《算經十書》。他不僅把《算經十書》編入進《四庫全書》，而且對《算經十書》進行了認真的研究，進行了全面的注釋。
李潢(?—西元1812年)，字雲門，生於湖北鐘祥。乾隆三十六年（西元1771年）進士，由翰林官至工部左侍郎。他自幼聰明好學，素有“讀書一目十行下”的讚譽。年輕時，由於李潢的父親李兆鈺在蘇州做官犯了錯誤，被削職為民。他的父親逝世後，李潢扶喪回到鐘祥。當地土豪因妒嫉他家有錢，便誣陷李潢，致使他入獄。在獄中，他仍然孜孜不倦地讀書，家裏人探監時，往往帶去釵h書，過幾天就要換一批。後來，幸虧雲南李因培巡視湖北，得知李潢的冤屈，他才被釋放。出獄後，他更加發憤讀書。
李潢在當地以博學多才聞名，尤其精通數學，被稱為“鐘祥一李”。以後，他和李銳（李銳的事蹟在第七章中已經介紹過）被稱為“北李”和“南李”，兩李並駕齊驅。李潢在北京任翰林院編修時，曾經寫信給張敦仁，請求他幫助李銳解決生活上的困難，以保證李銳能不間斷學術的研究，對此，李銳十分感動。
李潢在發掘、整理和研究中國古代數學經典方面，做出了突出的貢獻。特別在《算經十書》長期埋沒在私人的藏書閣中，又久經傳抄、重刻，有很多錯誤的地方，所用的名詞、概念多，同名異意、同意異名也很多的情況下，李潢認真校勘，忠實地注釋了《算經十書》。這是一項既有意義又極為艱巨的工作。李潢對《算經十書》中的《九章算術》及劉徽、李淳風的注釋、《海島算經》和《緝古算經》進行了全面的校注和研究。這三部書的數學成就輝煌，但又十分難讀。經過李潢校注後，大多文從字順，容易理解。所以，人們稱讚李潢“能發古人之真解”，“與古人息息相通”。
李潢著有《九章算術細草圖說》9卷，《海島算經細草圖說》1卷，《緝古算經考注》2卷，為後人的研究提供了極大的方便。
到李潢時的《算經十書》中的《綴術》早已失傳，用《數術記遺》代替了。
下面，我簡要地向朋友們介紹十部算經的概況。
1．十部算經中最早的書——《周髀算經》

《周髀算經》（見圖9—2）是綜合秦漢以前流傳下來的各家成就寫成的一部討論“誘捋﹛赤漁恁C成書的時間，大約在西元前1世紀。這本書上沒有著作者的姓名，經過了歷朝歷代很多人的注釋，其中最有名的是趙君卿、甄鸞、李淳風等人。
《周碑算經》原來只有“周髀”二字，“算經”是李淳風注釋時加上去的。
《周髀算經》既是數學著作，也是天文學著作。它是集周秦以來天文學的研究成果而寫的。《周髀》有天文學觀點，主張“誘捋﹛芋C“誘捋﹛酉{為，天像是戴在人們頭頂上的一把大雨傘；地像放在地上的翻過來的盆。這種天文學觀點當然是錯誤的，但在西元前的古代，人們認識自然能力十分低下的情況下，能夠提出這樣的想像，還是難能可貴的。
當時的天文學家在地上豎立一根8尺長的標竿來測影子的長短，計算時間。這標竿稱為“測影日表”或簡稱“表”。髀，就是表。《周髀算經》卷上記載：周代的人用測影日表，在都城進行測量。因此，就用“周髀”作為書的名稱。
《周髀算經》一開始便記載著周公和商高的對話。
商高是周朝人，生活在西元前11世紀。他懂得數學、天文曆法，以及天文測量等知識。他的學術水準已經超過古埃及、古希臘時代的學者。他曾經說過：“數之法，出於圓方；圓出於方，方出於矩，矩出於九九八十一。故折矩，以為勾廣三，股修四，徑隅五。”他對數與形有非常深刻的認識，並且懂得畢氏定理的應用。
《周髀算經》卷上之二中，記載了周朝的陳子和他的學生榮方的對話。陳子專門研究商高的數學理論。他告訴榮方測量的方法是“起高望遠”。並介紹了測量太陽距離的方法：
當太陽到中天的時候，在地面上豎立一根8尺長的杆子來測日影。垂直於地面的杆子和影子，構成了一個直角三角形。以杆子為股、影子為勾。夏至（二十四節氣之一，這一天太陽經過夏至點，北半球白天最短，夜間最長）時，日影長1尺6寸。如果在城南千里和城北千里，同樣豎立8尺長的杆子，那麼夏至日城南的影子長1尺5寸；城北的影子長1尺7寸。
如圖9—3中，S是太陽，FD是城南1000裏處的杆子（髀）,FD=h=80寸；影子EF=b=15寸。
CA是城北1000裏處的杆子（髀），CA=h=80寸；影子BC=BG十GC=a+b。如果測得a=2寸，那麼BC=a+b=2+15=17寸。其中,AG平行SE。
顯然,三角形ABC（連同三角形AGC）是與三角形SAH（連同三角形SDH）相似的。於是：
：h=d：a
：b= d：a
所以
X＝dh/a , y=dh/a

L是日下點，LS= +h，杆子h與相比，是極其小的，可以忽略不計。所以太陽距地的距離是 。
AD=d=2000（裏）
是南北兩根杆子的距離。
DH=y
是南杆到日下點的距離。
和h是常數，所以d與a成正比。d是2000裏，a是2寸，所以1000裏相當於1寸。於是，陳子得出“寸千里”的法則。
只要把實際測出的資料代入上面的公式，立刻就可以求出 、y的值，再用畢氏定理，就可以知道太陽到杆子的距離。但是，陳子想出了一個更加簡便的方法，就是等到影子長b是6尺的時候，三角形DEF的三邊正好成3：4：5的關係，三角形SDH也成3：4：5的關係。
　　Y=bd/a=60×2000/2=60000（里）
直接得出 =80000里，而杆子到太陽的距離是100000里。
陳子測太陽所得的結果，和實際的太陽離地面的距離，相差很遠。這並不是方法和計算有錯誤，而是他把整個大地看作是平的。李淳風在注釋中，指出了這一點。
據《周髀算經》記載，有一次榮方和陳子問答，陳子說：“若求邪至日者，以日下為勾，日高為股，勾股各自乘，並開方而除之，得邪至日者。”（古漢語“邪”也作“斜”解）就是說，將勾、股各平方後相加，再開方，就得到弦長（圖9—4）。陳子的這段話，不僅解決了日遠的計算問題，而且還最早表述了畢氏定理。這充分證明，我國至遲在陳子所處年代，已經發現並運用了畢氏定理。
西方的“測量之祖”法涅斯在西元前600年左右，利用日影測金字塔的高，使古埃及國王大為驚奇。其實，他不外乎根據簡單的相似三角形的原理。他發現有一個時刻，物體的影子等於物體的高度。於是，他去測量好金字塔底邊的長度，並把資料記錄下來。然後，在金字塔旁豎立一根杆子，當杆子的影子長等於杆子高度時，便測出金字塔的陰影的長。如圖9—5，CD為金字塔的影長，只要再加上金字塔底邊的一半，就是塔高了。
法涅斯可以走到金字塔旁邊，去測塔底的長度；但是陳子和商高絕對不能爬到太陽上去。就這一點來說，已經比法涅斯高明得多。在時間上，法涅斯大約與陳子同時，但比商高要晚好幾個世紀。何況法涅斯所測量的只是小小的金字塔，而商高和陳子測量的對象卻是廣大無垠的天地呢！
直到今天，陳子測日法仍然在使用著。稱陳子是世界測量學之祖，毫不過分。
《周髀算經》中還列舉了分數計算的問題，古代的四分曆法認為一年的長度是365（1/4）日，並認為19年有7個閏月，這樣每年平均應該有12（7/19）個月。
在《周髀算經》卷下最後一段文字裏，就記載著這個分數的運算。
這些計算，那時是用籌算進行的，可見它的難度是多麼大！
中國是世界上最早使用小數的，西方的阿爾•凱西第一次在他的《算術之鑰》中提到，比我們中國已經晚了10多個世紀。

2．最古老的數學經典——《九章算術》

《九章算術》是一部至今還有傳本的、最古老的中國數學經典著作。它是十部算經中，內容最豐富和最重要的一部，它與西方的《幾何原本》堪稱世界數學史上的雙璧。它幾乎集中了過去和當時的全部數學知識，把246個問題分為9章，所以叫做《九章算術》。（見圖9—6）
《九章算術》不是出自某一個人的手筆，也不是一個年代的作品。它是經過歷代釵h數學家的修訂和增補，逐漸定本的。
數學史家認為《九章算術》成書的年代是東漢初年，大約在西元50年到100年之間。
劉徽在《九章算術注》的序言中說，秦始皇焚書後，西漢的張蒼（約西元前250—前152年）和耿壽昌（約西元前73—前49年）刪補過《九章算術》。由此，我們可以推知《九章算術》是對秦漢以前各家的數學成就加以整理而成的。它的原本很可能是先秦時期的書，自劉徽作注釋以後才有定本。
東漢大經學家鄭玄（西元127—200年）求學的故事，也能為《九章算術》的成書年代，作個大概的說明。
鄭玄從小愛好數學,八、九歲就能進行乘除運算。他進入學校讀書時，就攻讀《公羊春秋》和《九章算術》。後來，他拜大學者馬融為老師。但是入門三年，沒有見到馬融。馬融只派他的“高業弟子”去教鄭玄。後來，馬融聽說鄭玄能精演《九章算術》，才召見鄭玄。
《九章算術》雖然不能具體確定是什麼時候開始編寫的，但它確是我國古代流傳下來的一部不朽的數學巨著。它不僅指導我國數學的發展達2000年之久；而且對世界數學的發展，也有著不可估量的影響。《九章算術》與古希臘的《幾何原本》東西輝映，是世界數學史上的兩大傳世名著，也是現代數學的兩大源泉。
《九章算術》各章的名稱和基本內容是這樣的：
第1章，方田：主要講平面圖形面積的計算和分數演算法；
第2章，粟米：主要講各種比例問題；
第3章，衰分：主要講比例分配問題；
第4章，少廣：主要講開方問題；
第5章，商央G主要講立體形體積的計算問題；
第6章，均輸：主要講根據均輸法納稅和運送方面的計算問題；
第7章，盈不足：主要講算術中的有餘和不足問題的解法和比例問題；
第8章，方程：主要講多元一次方程組應用問題的解法；
第9章，勾股：主要講畢氏定理的運用。
《九章算術》中，除了我們在前面已經介紹過的方程、畢氏定理外，值得一提的是“盈不足”。盈不足術是我國獨立發明的，西方叫“雙設法”，但我國要比西方的早12個多世紀。

3．講測量的專著——《海島算經》

劉徽的功勞除了注釋《九章算術》，創立“割圓術”，運用極限概念外，還推廣了陳子的測日法，使之發揚光大。
他的《海島算經》就是應用“測日法”（後來又叫“重差術”），實地測量海島、山谷、山峰高或距離的專門著作。
劉徽在《九章算術注》中，解釋“重差術”（重，重複的意思；差，是指日影長短的差）的原理之後，不像陳子那樣去談測日高等無實際意義的問題，而用它來做有實際意義的山川河海即能望見而不能達到的物體的測量。到了唐朝初年，這一部分從《九章算術注》中抽出來，成為獨立的著作。由於它的第1題是有關測量海島的高和遠的問題，因此把它叫做《海島算經》（見圖9—7）。
《海島算經》到清朝初年已不見流傳了。現在一般見到的《海島算經》是清初編輯《四庫全書》時，戴震（西元1724—1777年)從明代《永樂大典》中，重新抄錄出來的。現傳本《海島算經》只剩下9個問題了。
《海島算經》雖然只有9個題目，但是從這些題目的創造性、複雜性和富有代表性來看，已經把“重差術”（陳子測日法）發揮得淋漓盡致。我們也可以看到劉徽對測量術造詣之深，大大超過了當時的西方，使16、17世紀西方的測量術望塵莫及。美中不足的是《海島算經》中完全沒有角度的概念。不然的話，在劉徽時代也許早已發展成為一套完整的三角學了。





4．中國剩餘定理的搖籃——《孫子算經》

《孫子算經》的作者沒有記載下來，著作的年代也不夠確切。戴震根據原書卷下第33題中的“今有長安、洛陽相去九百里”，及第4題中的“今有佛書凡二十九章”等語句推斷《孫子算經》應當是漢明帝（西元58—75年在位）以後的書。另外，《夏侯陽算經序》中說，劉徽為《孫子》作過注釋。所以，《孫子算經》成書不會遲於3世紀。大概可以確定在西元67—270年之間。
現在流傳的《孫子算經》有3卷（見圖9—8），大概成書在祖沖之（西元429—500年）以前。書前有一篇序言，主要講了數學的用途，認為數學可以用於天文、測量、度量衡方面的研究。
《孫子算經》的內容，遠不如《九章算術》豐富深奧。其中有釵h淺顯的內容，如進位元制、九九口訣、四則演算法等。
這本書中有大量屬於日常生活的應用題，可以說是一本算術入門書。
《孫子算經》是目前發現的一本詳細記載籌算的書。上卷記有：“凡算之法，先識其位，一縱十橫，百立千僵，千十相望，萬百相當。”
中卷是分數的應用題，包括面積、體積等計算題，大致不出《九章算術》的範圍。
下卷選取了幾個算術難題，用來增加讀者的興趣。其中最有價值的是第26題“物不知數”問題（這個問題，在本書“韓信大點兵”一章中詳細介紹）。這個問題就是後來馳名於世界的“大衍求一術”，西方又稱為“孫子定理”或“中國剩餘定理”。所以，我們把《孫子算經》稱為“中國剩餘定理的搖籃”！
除此，第31題對後世影響也很大。這題是：“今有雉（野雞）兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足。問雉兔各幾何?”（譯：現在有一籠野雞和兔子，從上面數，有35個頭；從下面數，有94隻腳。問野雞和兔子各多少？）
《孫子算經》的解法是：足數折半減頭數，得兔數：（94÷2）-35=12（隻）；
頭數減兔數，得雉數：35-12=23（隻)。
這個解法確實奇妙，很難知道它的來歷。孫子自己在解這個問題時，很可能是根據方程推出來的。這個問題在我國農村民間也廣為流傳。比如：“野雞兔子四十九，湊一百條腿在地上走。”
後來這個問題傳到日本，變成了“鶴龜算”。

5．張冠李戴的一部算經——《夏侯陽算經》

現在有傳本的《夏侯陽算經》，一共3卷，是北宋元豐七年（西元1084年）所刻算經中的一部。它是8世紀的實用算術書，不是《夏侯陽算經》原本。夏侯陽是南北朝時的北魏人，大約生活在5世紀，所以，原本《夏侯陽算經》應當是5世紀的產物。唐朝初期曾將它定為學校學生的必修課本，可惜這部書在北宋初就失傳了。宋神宗元豐七年刻算經時，誤取這部8世紀中期的算術書作為《夏侯陽算經》。
數學史專家認為，現在流傳的《夏侯陽算經》很可能是《韓延算術》。
韓延是唐代人，約生活在西元8世紀。他著有實用算術書《韓延算術》，分3卷，共收83道題。其中一小部分和《五曹算經》、《孫子算經》相同，其他都是結合當時實際需要，對地方官吏和普通人民提供可應用的數學知識和計算技能的。《韓延算術》被宋代人誤認為是《夏侯陽算經》，刻入《算經十書》而流傳到現在。
因為在宋代，有不少的數學著作多已失傳，只有《韓延算術》因戴上了一頂《夏侯陽算經》的帽子，才得以流傳。
值得一提的是，現傳本《夏侯陽算經》中，明顯地表現出對籌算制度進行改良的傾向。這種傾向，從唐朝末年起，經過五代十國，再經過宋、元，一直沒有間斷，終於在14世紀中期產生了新的計算工具——珠算盤。

6．以“百雞術”聞名的算經——《張邱建算經》

張邱建是南北朝時北魏清河人，有“神童”之稱（關於張邱建的故事，請參看“百錢買百雞”一章）。他所著的《張邱建算經》一直流傳到現在。
《張邱建算經》有3卷。最早的版本是南宋的刻本，約西元1213年前後刊行。這個版本現在藏於上海圖書館。
《張邱建算經》大約寫於西元466年到485年之間，書中保存了92個問題。這些問題大部分都是社會上的實際問題，有關測量、紡織、交換、納稅、冶煉、土木工程、利息等方面的計算問題都有，涉及的範圍較廣，有些富有創見性的問題，超出了《九章算術》的範圍，是《九章算術》以來一部比較有價值的數學著作。
美中不足的是，《張邱建算經》雖然成書在劉徽和祖沖之以後，但是書中的圓周率仍然用的是“3”；已知球體體積求直徑的公式，仍然沿用《九章算術》中不正確的公式。由此可以看出，劉徽和祖沖之父子的工作，在當時並沒有受到普遍接受和重視，這是很可惜的事。
張邱建在序言中說，學習數學的人不憂慮乘、除難，而憂慮通分難。因此，書中一開始就講通分和約分的方法，指導讀者掌握分數運算法則。
張邱建是世界數學史上第一個創造一題多解的人。《張邱建算經》下卷最後一題，是世界上有名的“百雞術”。後來，清代嘉定的時曰淳（約19世紀人）在武昌胡林翼的幕府中，見到《數學拾遺》裏的“百雞術”，就以自己的構思推廣了“百雞術”的解法，並寫成《百雞術衍》2卷。他用“求一術”解自己設立的比較複雜的一次不定方程問題。通過時曰淳的推廣，“百雞術”的聲名燦然大著，為世人驚歎。《張邱建算經》也因“百雞術”而著名了。“百雞術”對世界數學有很大的影響，如12世紀印度的數學家巴斯卡拉的著作中，就收有“百雞術”。

7．為地方官員寫的算術——《五曹算經》

我國南北朝時代北周的數學家甄鸞，字叔遵，大約生活在6世紀。他精通歷史、數學和天文學。甄鸞受佛教的影響很深，信佛不通道，還寫了一本《笑道論》宣揚佛教，嘲笑道教，研究過佛家經典和曆法。他一生做過多種官，編寫和注釋過釵h數學著作。在他寫的數學書中，有明顯的佛教內容。根據各種歷史文獻的記載，我們可以知道，他注釋的書有：《九章算術》、《孫子算經》、《張邱建算經》、《夏侯陽算經》、《周髀算經》、《海島算經》；他編寫的數學書有：《五曹算經》、《五經算術》、《數術記遺》、《三等數》和《甄鸞算術》。中國數學史界對他所作的如此浩瀚的編寫和注釋工作，評論不一。
無論對甄鸞所做的工作評價如何，在現在流傳下來的十部算經中，就有3部是他編著的。這使我們不得不對他另眼相看。這3部數學著作是：《五曹算經》、《五經算術》和《數術記遺》。
曹，是古時候地方官員分科辦事的地方。《五曹算經》就是為地方行政官員編寫的應用算術書。全書共有5卷，用田曹、兵曹、集曹、倉曹、金曹五個項目作為標題。所有的算術問題都能切合當時的實際情況，淺顯易懂，便於被地方行政人員和軍隊裏的工作人員所使用。
田曹卷主要敍述了田地面積的計算方法；除長方形、三角形、梯形、圓、圓環的面積與《九章算術》的方田一章中的方法相同外，還介紹了一些不太準確的近似公式。
兵曹卷，大部分是計算軍隊的給養問題。這是我國軍事數學方面最早的、比較系統的一些記載。
集曹卷中的問題，基本上與《九章算術》中的粟米章相同。
倉曹卷中的問題，主要是糧食的徵收、運輸和儲藏問題。
金曹卷中，是以絲、絹、錢幣等物質作為物件，來進行計算的問題。
在《五曹算經》中已出現餘數，對十進小數的概念有了新的發展。

8．為古文中的數學作注的書——《五經算術》

《五經算術》是甄鸞為《尚書》、《詩經》、《周易》、《周禮》、《劄記》等書中的一些需要數學知識或計算技能的地方，所作的注釋集。主要講曆法和樂律，沒有算題。這本書有助於我們瞭解古代經典。書名為“算術”，其實是研究“五經”。所以，這本書在我國古代數學發展史上，沒有多大作用。

9．最早記載珠算的書——《數術記遺》

我們在介紹甄鸞時，曾談到《數術記遺》是甄鸞編著的；但有的文獻又說《數術記遺》是東漢末年徐嶽編著的。究竟是怎麼回事？請看下面的介紹。
在前面已經介紹到：徐嶽，字公河，東漢末年東萊人，約生活在3世紀。他曾經向劉洪學過曆法和籌算。劉洪告訴徐嶽：“我曾經到過天目山中，見到一位很有學問的老人。他一直隱居在天目山，沒有人知道他的姓名，都叫他‘天目先生’。天目先生給我介紹過隸首（上古時的一位數學家，相傳隸首作數）計算的方法，有釵h種。大部分我忘記了，只記得一部分。”徐嶽就把他的老師劉洪所介紹天目先生的話，記錄下來，編成《數術記遺》一書。
《數術記遺》曾經一度失傳，現在流傳的版本，是南宋處州括蒼人鮑浣之在杭州甯壽觀中發現的。
西元1127年，北宋首都汴京（河南開封）被金兵佔領，一些珍貴文獻毀於戰火。鮑浣之怕數學典籍失傳，便留意搜集、傳刻各種算經。他先後於1200年、1212年、1213年刻印了《九章算術》、《數術記遺》、《周髀算經》等數學著作，為中國數學事業的繼承和發展作了貢獻。
《數術記遺》本來不是“十部算經”中的書，鮑浣之在刻十部算經的時候，祖沖之的《綴術》早已失傳，無法找到。他就把在杭州甯壽觀中發現的《數術記遺》刻了進去，成了現在流傳的《算經十書》之一。
《數術記遺》內容很難理解。其中引用了很多佛教用語，給這本書披上了極其濃厚的神秘色彩。
因此，數學史專家根據甄鸞篤信佛教的世界觀，斷定《數術記遺》是甄鸞假託徐嶽的名字偽造的。究竟是不是這樣，還有待于數學史專家們去進一步研究。
《數術記遺》的主要內容是大數進位元和記數法。從這以後，直到宋元時代，數學家多用這本書中的記數方法。
這本書，還把天目先生介紹的14種計算古法記進了書中。其中，“珠算”一詞第一次出現，並解釋為，在一塊木板上刻上溝槽，中間留有一個橫坎，用來確定算位。上面各裝一個染有顏色的珠子，下面裝有4個珠子。上面的珠子一個當5個，下面的珠子，一珠算1個，如圖9—9所示。
現在的算盤與這本書上的記載大體相像。
《數術記遺》中的記載，說明了我國古代有種種記數和計算器械。這些在其他各國都沒有發現。特別是籌算和珠算，在我國歷史上扮演著十分重要的角色。

10．最早記載三次方程數值解的書——《緝古算經》

中國古代十部算經最後一部是《緝古算經》。這部著作是唐代的王孝通（約7世紀人）在西元626年左右編著而成的。
像我國古代很多數學家一樣，王孝通的身世和生卒年代，都沒有詳細的記載。根據有限的資料，我們知道他在唐代初年擔任過“曆算博士”，並且任過太史丞。他奉命校勘《戊寅元曆》，曾經提出不同的意見。他還為《等對戊寅元曆》做了釵h校訂工作。
他在《上“緝古算經”表》中說，他生長在一個平民的家庭，從小喜歡數學，刻苦讀書，稍有成就，被朝廷收用為太史丞。
王孝通的主要數學成就，集中地反映在他晚年編寫的名著《緝古算經》中。
現存的《緝古算經》只有1卷，共收有20道數學題。其中除了第1題是曆法外，其餘都是土木工程中土方體積問題以及勾股計算問題。每道題都有答案、解題步驟，還有自注。其中以多面體計算公式和高次方程（尤其是三次方程）的數值解法較為顯著。
王孝通對自己的數學著作很自信。他在《上“緝古算經”表》裏對皇帝說：“請高明的人來評論我的著作，如果有能改動一個字的，我願意拿千金來酬謝。”確實，在《緝古算經》中，很少發現錯誤，可見他治學的嚴謹，態度的認真。
他所收集的數學問題，大多都很難，有的問題答案就有27個之多。他特地尋找那些前人沒有研究或沒有解決的實際問題來加以探討，並獲得重大成就。
《緝古算經》中關於堤積的計算是典型的多面體體積計算問題，而且是相當複雜的計算。不僅要根據工程的具體情況進行計算，而且還要由已知某一部分體積，來反求這部分的長、寬、高的尺寸。王孝通提出了求堤積的一般公式，這在當時是難能可貴的。
《緝古算經》中大部分問題，都要用高次方程（主要是三次方程）來求解，這在當時是較為高深的數學理論。他在每一條有關高次方程的解法後面，都用自注來說明方程各項係數的來歷。他列出了28個三次方程。
他把三次項的係數稱為“實”；二次項係數p稱為“方”；一次項係數q稱為“廉”；常數項r稱為“隅”。
在西方，古希臘學者也遇到過三次方程，他們是利用圓錐曲線來求解的；10世紀阿拉伯人發展了三次方程的幾何解法；13世紀斐波那契才得出一個三次方程的數值解法，比王孝通晚了6個多世紀。至於一般三次方程的代數解法，西方直到16世紀才出現。
王孝通的《緝古算經》標誌著中國古代的代數學，開始進入了一個新階段。此後，高次方程數值解法，以及列方程的天元術和四元術，相繼在我國發展起來。
《緝古算經》的影響很大，唐代搜集數學典籍時就有這部書，直到宋代它仍然是學生的必修教材。西元1081年到1085年間，它又作為《算經十書》中的一種，刊行於世。後來，這部書又傳到日本等亞洲國家，影響著世界數學的發展。