6.甲、乙二人依下述方法分一塊乳酪：甲先將現有的乳酪切成兩塊；然後輪由乙從這二塊乳酪中挑選一塊切成二塊；接著輪由甲從這三塊乳酪中挑選一塊切成二塊；然後輪由乙從這四塊乳酪中挑選一塊切成二塊，此時乳酪已被切為五塊，甲、乙二人停止切乳酪。由甲先開始二人輪流，每次從中挑選一塊乳酪，所以甲共可挑三塊，每個人都想盡量得到多一點的乳酪。無論對手如何切，請問甲、乙二人分別有什麼最佳策略？分別保證可得到多少乳酪？(八分)
國中
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回應

PeterJiang

2004-10-24 20:22
我覺得乙的策略可以拿到接近1/2
乙的策略是：讓結果變成兩塊大小相近的乳酪、一塊薄片和兩塊大小相近的乳酪，選取時，乙就有機會拿到兩塊和甲大小相近的乳酪，甲就只會贏到一塊薄片。
所以乙可以拿到接近1/2的乳酪。

訪客 (未驗證)

2004-10-25 08:15
不需要題目限制大小。乙可以視甲的第一刀判斷下手的位置而造成對等關係，第二刀也一樣。
因為切出來的五片甲可以拿三片乙只能拿兩片，甲佔盡優勢一定可以贏，但是乙是後手他可以掌控局面讓他的損失最小，所以這個薄片愈薄愈好。
這種鬥智的題目雙方應該都是絕頂聰明的吧？
不過考試的時候我沒有這樣想，解得並不是很好，是PeterJiang提出來的策略才讓我仔細思考的。
5/8和3/8是很傳統的切法，不需要鬥智也也拿得到。甲很聰明他的對手也不能太弱吧！

訪客 (未驗證)

2004-10-25 13:02
題目的要求是：「……，每個人都想盡量得到多一點的乳酪。無論對手如何切，請問甲、乙二人分別有什麼最佳策略？分別保證可得到多少乳酪？」

你的答案是：
我算出來是甲拿4/3,乙拿4/1ㄟ
………
你的乙好懶，他沒有盡力哦！

st85145

2004-10-25 17:29
我的想法是,當甲乙都非常聰明時,他們切的順序是這樣
甲先切成三分之一和三分之二
乙切一塊極小的
甲再切一塊極小的
最後乙把三分之二那塊切成一半
所以甲得三分之二,乙得三分之一(把極小的那兩塊忽略不計)

yl871809

2004-10-25 18:15
引用：

st85145 寫道:
我的想法是,當甲乙都非常聰明時,他們切的順序是這樣
甲先切成三分之一和三分之二
乙切一塊極小的
甲再切一塊極小的
最後乙把三分之二那塊切成一半
所以甲得三分之二,乙得三分之一(把極小的那兩塊忽略不計)

嗯....我就是認同這個方法.....

PeterJiang

2004-10-25 22:55
引用：

st85145 寫道:
我的想法是,當甲乙都非常聰明時,他們切的順序是這樣
甲先切成三分之一和三分之二
乙切一塊極小的
甲再切一塊極小的
最後乙把三分之二那塊切成一半
所以甲得三分之二,乙得三分之一(把極小的那兩塊忽略不計)

可是如果甲切1/3、2/3
乙切1/3、1/3、1/3
甲切1/3、1/3、2/9、1/9
乙切1/3、1/3、1/9、1/9、1/9
則乙會得到4/9，還是比1/3多。

ALPHONSE

2004-10-26 09:29
好期待看到這一題的答案，
像這一類的問題，
實在是不知道怎樣寫證明，
難不成一定要寫一堆國字說明，
能不能變成一堆式子、符號等等。

每次要證明這一類的問題都覺得很無助………………

訪客 (未驗證)

2004-10-26 17:58
引用：

PeterJiang 寫道:
引用：

st85145 寫道:
我的想法是,當甲乙都非常聰明時,他們切的順序是這樣
甲先切成三分之一和三分之二
乙切一塊極小的
甲再切一塊極小的
最後乙把三分之二那塊切成一半
所以甲得三分之二,乙得三分之一(把極小的那兩塊忽略不計)

可是如果甲切1/3、2/3
乙切1/3、1/3、1/3
甲切1/3、1/3、2/9、1/9
乙切1/3、1/3、1/9、1/9、1/9
則乙會得到4/9，還是比1/3多。

我的答案跟你一樣,
但算法是:
甲切1/3、2/3
乙切1/3、2/9、4/9
甲切1/3、1/3、2/9、1/9
乙切1/3、1/3、1/9、1/9、1/9

訪客 (未驗證)

2004-10-26 18:58
不要亂槍打鳥啦
要嚴謹一點的討論
我覺得可以從乙落下他的第四刀時心中想的策略開始想



說這時候桌上有四塊大小分別是
C1>=C2>=C3>=C4

那麼乙如果切 C4 分出一小塊給 C5
等於是把自己的分一些給甲絕對不可能
如果要分割 C2
可能是因為.....(這邊比較複雜懶的打)

如果去切 C3 對分配一點影響都沒有
一定是無奈才這樣做

去切 C1 的話
一定是因為 C1>C2+C3 (can you tell me why?)
如果 C1 甚至大於 2C2
那就對剖最划的來




我沒有解完因為我相信要想要寫得花一個小時以上
而且我不認為自己能在 20 分鐘內解決國中組高級卷第六題


好可惜高中組沒這題

yl871809

2004-10-26 19:23
引用：

PeterJiang 寫道:
引用：

st85145 寫道:
我的想法是,當甲乙都非常聰明時,他們切的順序是這樣
甲先切成三分之一和三分之二
乙切一塊極小的
甲再切一塊極小的
最後乙把三分之二那塊切成一半
所以甲得三分之二,乙得三分之一(把極小的那兩塊忽略不計)

可是如果甲切1/3、2/3
乙切1/3、1/3、1/3
甲切1/3、1/3、2/9、1/9
乙切1/3、1/3、1/9、1/9、1/9
則乙會得到4/9，還是比1/3多。

前提是，甲把蛋糕切成1/3和2/3......

訪客 (未驗證)

2004-10-26 19:44
我的想法是:
每個人都想拿多一點,所以一發現有一塊特別大的,就會想要把他切成較小的兩塊,最後對方也不會多拿到多少.一開始甲切成1/3,2/3[切成其他比例的話可能會一塊太大,乙會狂切大的,甲也沒好處.].接著,乙會想把2/3那塊切小一點,它可按1:1 的比例切[理由同上].如此會變成1/3,1/3,1/3 ,無論接下來無論甲用什麼比例切其中一塊,乙照樣用那比例切另一塊,所以甲拿2/3,乙拿1/3.

訪客 (未驗證)

2004-10-26 22:18
引用：

孫文先 寫道:
乙第一次不切2/3這塊而切1/3這塊呢？
孫文先敬上

第1次:甲切1/3.2/3
第2次:乙切1/6.1/6.2/3
第3次:甲切1/12.1/12.1/6.2/3
第4次:乙切1/12.1/12.1/6.1/3.1/3
最後,甲拿1/3塊+1/6塊+1/12塊=7/12塊
而乙拿1/3塊+1/12塊=5/12塊
(不知道對不對)

PeterJiang

2004-10-26 22:49
引用：

寫道:
引用：

孫文先 寫道:
乙第一次不切2/3這塊而切1/3這塊呢？
孫文先敬上

第1次:甲切1/3.2/3
第2次:乙切1/6.1/6.2/3
第3次:甲切1/12.1/12.1/6.2/3
第4次:乙切1/12.1/12.1/6.1/3.1/3
最後,甲拿1/3塊+1/6塊+1/12塊=7/12塊
而乙拿1/3塊+1/12塊=5/12塊
(不知道對不對)

如果乙第一刀這樣切應該只能得到7/18
第1次:甲切1/3、2/3
第2次:乙切1/6、1/6、2/3
第3次:甲切1/6、1/6、2/9、4/9
第4次:乙切1/6、1/6、2/9、2/9、2/9
乙只拿到7/18←14/36，比你預期的5/12←15/36還要少，而7/18也比之前切的4/9還要少

訪客 (未驗證)

2004-10-26 22:55
引用：

PeterJiang 寫道:
引用：

寫道:
引用：

孫文先 寫道:
乙第一次不切2/3這塊而切1/3這塊呢？
孫文先敬上

第1次:甲切1/3.2/3
第2次:乙切1/6.1/6.2/3
第3次:甲切1/12.1/12.1/6.2/3
第4次:乙切1/12.1/12.1/6.1/3.1/3
最後,甲拿1/3塊+1/6塊+1/12塊=7/12塊
而乙拿1/3塊+1/12塊=5/12塊
(不知道對不對)

如果乙第一刀這樣切應該只能得到7/18
第1次:甲切1/3、2/3
第2次:乙切1/6、1/6、2/3
第3次:甲切1/6、1/6、2/9、4/9
第4次:乙切1/6、1/6、2/9、2/9、2/9
乙只拿到7/18←14/36，比你預期的5/12←15/36還要少，而7/18也比之前切的4/9還要少

但是他切的4/9是先切2/3的那1塊ㄟ,孫文先老師說如果從1/3開始切呢?我是照他的問題去寫的

PeterJiang

2004-10-26 23:16
引用：

寫道:
引用：

PeterJiang 寫道:
引用：

寫道:
引用：

孫文先 寫道:
乙第一次不切2/3這塊而切1/3這塊呢？
孫文先敬上

第1次:甲切1/3.2/3
第2次:乙切1/6.1/6.2/3
第3次:甲切1/12.1/12.1/6.2/3
第4次:乙切1/12.1/12.1/6.1/3.1/3
最後,甲拿1/3塊+1/6塊+1/12塊=7/12塊
而乙拿1/3塊+1/12塊=5/12塊
(不知道對不對)

如果乙第一刀這樣切應該只能得到7/18
第1次:甲切1/3、2/3
第2次:乙切1/6、1/6、2/3
第3次:甲切1/6、1/6、2/9、4/9
第4次:乙切1/6、1/6、2/9、2/9、2/9
乙只拿到7/18←14/36，比你預期的5/12←15/36還要少，而7/18也比之前切的4/9還要少

但是他切的4/9是先切2/3的那1塊ㄟ,孫文先老師說如果從1/3開始切呢?我是照他的問題去寫的

可是我的做法乙的第一刀也是切1/3的那塊阿！

st85145

2004-10-27 17:39
我好像錯了,如果乙第二刀把三分之二那塊切成三分之一的兩塊,甲最多就只能得九分之五
引用：

st85145 寫道:
我的想法是,當甲乙都非常聰明時,他們切的順序是這樣
甲先切成三分之一和三分之二
乙切一塊極小的
甲再切一塊極小的
最後乙把三分之二那塊切成一半
所以甲得三分之二,乙得三分之一(把極小的那兩塊忽略不計)

訪客 (未驗證)

2004-10-27 21:39
我覺得:
甲切1/3,2/3,
乙切1/3那塊切成1/9,2/9[因為切成對半的話甲最後會佔便宜,切其他比例甲又拿太多了]
甲切1/9那塊,因為到時乙一定會來切2/3那塊且切2/9那塊乙會得利.切一塊極小的.如此那兩塊之中有一塊接近1/9.
最後乙非切2/3不可,否則甲會拿超多.
總結:甲拿1/3+2/9+那塊接近1/9的,如此甲至少保證拿到2/3.乙拿1/3.

訪客 (未驗證)

2004-10-27 21:53
引用：

寫道:
我覺得:
甲切1/3,2/3,
乙切1/3那塊切成1/9,2/9[因為切成對半的話甲最後會佔便宜,切其他比例甲又拿太多了]
甲切1/9那塊,因為到時乙一定會來切2/3那塊且切2/9那塊乙會得利.切一塊極小的.如此那兩塊之中有一塊接近1/9.
最後乙非切2/3不可,否則甲會拿超多.
總結:甲拿1/3+2/9+那塊接近1/9的,如此甲至少保證拿到2/3.乙拿1/3.


你寫錯了：最後甲會拿到1/3+2/9及那塊極小的，乙會拿到1/3+1/9。所以甲拿5/9,乙拿4/9。整體上我同意你的想法〈除了最後一步〉。

訪客 (未驗證)

2004-10-31 21:13
我算的怪怪的：
甲拿3/5
乙拿2/5
還有....
你說
－－－－－－－－－－－－－－－
甲切1/3,2/3,
乙切1/3那塊切成1/9,2/9[因為切成對半的話甲最後會佔便宜,切其他比例甲又拿太多了]
甲切1/9那塊,因為到時乙一定會來切2/3那塊且切2/9那塊乙會得利.切一塊極小的.如此那兩塊之中有一塊接近1/9.
最後乙非切2/3不可,否則甲會拿超多.
總結:甲拿1/3+2/9+那塊接近1/9的,如此甲至少保證拿到2/3.乙拿1/3
－－－－－－－－－－－－－－－
但是
乙可以切成1/3.1/3.1/3
甲不論怎麼切
若甲切了一塊極小的
那乙就將剩下的其中一塊1/3切成兩等份
若甲將一塊1/3切成兩等份
乙就將剩下其中一塊1/3切成不同大小
如此
甲得1/3+1/3*1/2 + 一塊小於1/3*1/2的
和的值小於2/3
乙可得超過1/3

PeterJiang

2004-11-27 10:21
引用：

寫道:
我算的怪怪的：
甲拿3/5
乙拿2/5
還有....
你說
－－－－－－－－－－－－－－－
甲切1/3,2/3,
乙切1/3那塊切成1/9,2/9[因為切成對半的話甲最後會佔便宜,切其他比例甲又拿太多了]
甲切1/9那塊,因為到時乙一定會來切2/3那塊且切2/9那塊乙會得利.切一塊極小的.如此那兩塊之中有一塊接近1/9.
最後乙非切2/3不可,否則甲會拿超多.
總結:甲拿1/3+2/9+那塊接近1/9的,如此甲至少保證拿到2/3.乙拿1/3
－－－－－－－－－－－－－－－
但是
乙可以切成1/3.1/3.1/3
甲不論怎麼切
若甲切了一塊極小的
那乙就將剩下的其中一塊1/3切成兩等份
若甲將一塊1/3切成兩等份
乙就將剩下其中一塊1/3切成不同大小
如此
甲得1/3+1/3*1/2 + 一塊小於1/3*1/2的
和的值小於2/3
乙可得超過1/3

倒數第五行算錯了，乙如果切一塊極小的就可以得到接近1/2