環城市數學競賽 2011秋季賽 國中組 初級卷

環球2011國中組 初級卷
1.設P、Q為三角形ABC的最長邊AB上的兩個點，已知AQ=AC且BP=BC。請證明三角形CPQ的外接圓圓心與三角形ABC的內切圓圓心重合。(三分)

2.有兩位以上的賓客圍坐在一張大圓桌前吃藍莓，桌上的藍莓共有2011顆。已知每位賓客吃掉的藍莓的總顆數正好都是他左鄰那位賓客的兩倍或者少六顆。
請證明桌上的藍莓最後沒有被吃光。(四分)

3.在一個9×9的方格表中，將16個位於行數與列數都是偶數的小方格挖除。請將挖剩的方格表分割為一些小矩形，使得這些小矩形中單位正方形的數量愈少愈好。(四分)

4.在正三十三邊形的每個頂點上分別不重複地標記上一個1到33的數，然後在每條邊上標記它的兩個端點上的數之和。請問邊上所標記的數是否可能為三十三個連續的數？(四分)

5.在一條路上，一位行人與一位自行車騎士同向而行，另有一輛卡車與一輛小汽車從另一個方向駛近，大家都客自以不同的勻速行進。自行車騎士在上午10時追及行人，經過一段時間，自行車騎士與卡車相遇；又經過與上述相同的時間，自行車騎士與小汽車相遇。再經過另一段時間，小汽車與行人相遇；又經過與此段相同的時間，小汽車追及卡車。已知行人與小汽車在上午11時相遇，請問行人在什麼時刻與卡車相遇？(五分)