2010 青少年國際數學城市邀請賽 題目求解

引用：

jacky841102 寫道:
p^3+q^3+1=(pq)^2
p、q為質數，求p+q的最大值

這題想很久都解不出來，請幫忙一下

目前的想法是
這個的最大值=>(p+q)(p^2-pq+q^2)+1=p^2q^2

哇
分解到這裡就卡住了
(p+q)(p^2-pq+q^2)=(pq+1)(pq-1)

引用：

jacky841102 寫道:
p^3+q^3+1=(pq)^2
p、q為質數，求p+q的最大值

這題想很久都解不出來，請幫忙一下

請間有規定正負嗎？
因為p和q其中一個要是負的才行啊
--------------------------------------------------------
想錯了
找到一組了(2，3)

引用：

jacky841102 寫道:
恩，我也只找到(2,3)
不過他說要"最大值"?
是不是還有其他解

左邊是三次式
右邊是四次式

怎麼想都覺得數字應該是很小= =
(2.2)最小
(2.3)其次
哪個數增加右式都會增加

答案應該就是5(待證明)

建議模6或模8

引用：

WENDYCHI 寫道:

引用：

jacky841102 寫道:
恩，我也只找到(2,3)
不過他說要"最大值"?
是不是還有其他解

左邊是三次式
右邊是四次式

怎麼想都覺得數字應該是很小= =
(2.2)最小
(2.3)其次
哪個數增加右式都會增加

答案應該就是5(待證明)

建議模6或模8

(2.2)不行

設p的最大值是2+a，q的最大值是3+a
加加淢淢乘乘除除後可得
24a+24ab+4ab^2+6a^2b-3b-5b^2+3a^2+a^2b^2=a^3+b^3

我的媽媽米呀
誰解的出來啊？
--------------------------------------------------
驗算過了(a=-1,b=-4)
我沒算錯
看看誰能找到其它解

現在最希望的是有一個一定是2吧...

不不不，
只要p+q是8的倍數就有機會是一組解(若p和q都不是2)

我的意思是說，我們希望證到最後的狀況是有一個一定是2
如果真的這樣就能確定解只有那一組

只要確認其中一個數，那條等式變成為另一個質數的三次式。

嘿嘿,解出來了
只有(2,3)和(3,2)這組
粗略證明一下
證明:
若p=q,則p^3(p-2)=1
p=2不合,p>=3也易證不合
故p不=q,不妨設p>q
(1)若q=2,則p^2(p-4)=-9,p=3合,p>=5易證不合
(2)若q>=3,p>q,p>q+1,而p^2整除(q+1)[(q+1)^2-3q]
故p(沒平方)整除q+1或p^2整除(q+1)^2-3q
而兩者易證矛盾,故q>=3無解
綜上所述,只有(2,3),(3,2)兩組
答:5

哇
沒想到這題解法那麼單純…
看來我想太多了(還想到ab勒)
不過這題是難在要想的到才行啊…

引用：

zaq1bgt5cde3mju7 寫道:
嘿嘿,解出來了
只有(2,3)和(3,2)這組
粗略證明一下
證明:
若p=q,則p^3(p-2)=1
p=2不合,p>=3也易證不合
故p不=q,不妨設p>q
(1)若q=2,則p^2(p-4)=-9,p=3合,p>=5易證不合
(2)若q>=3,p>q,p>q+1,而p^2整除(q+1)[(q+1)^2-3q]
故p(沒平方)整除q+1或p^2整除(q+1)^2-3q
而兩者易證矛盾,故q>=3無解
綜上所述,只有(2,3),(3,2)兩組
答:5

好威= =

我用輾轉相除證明ING

引用：

WENDYCHI 寫道:

引用：

zaq1bgt5cde3mju7 寫道:
嘿嘿,解出來了
只有(2,3)和(3,2)這組
粗略證明一下
證明:
若p=q,則p^3(p-2)=1
p=2不合,p>=3也易證不合
故p不=q,不妨設p>q
(1)若q=2,則p^2(p-4)=-9,p=3合,p>=5易證不合
(2)若q>=3,p>q,p>q+1,而p^2整除(q+1)[(q+1)^2-3q]
故p(沒平方)整除q+1或p^2整除(q+1)^2-3q
而兩者易證矛盾,故q>=3無解
綜上所述,只有(2,3),(3,2)兩組
答:5

好威= =

我用輾轉相除證明ING

輾轉？？
你也太猛了吧？？
要怎麼用輾轉證啊？
不過只要想通了，證明就「啪答啪答」的出來了

引用：

zaq1bgt5cde3mju7 寫道:
嘿嘿,解出來了
只有(2,3)和(3,2)這組
粗略證明一下
證明:
若p=q,則p^3(p-2)=1
p=2不合,p>=3也易證不合
故p不=q,不妨設p>q
(1)若q=2,則p^2(p-4)=-9,p=3合,p>=5易證不合
(2)若q>=3,p>q,p>q+1,而p^2整除(q+1)[(q+1)^2-3q]
故p(沒平方)整除q+1或p^2整除(q+1)^2-3q
而兩者易證矛盾,故q>=3無解
綜上所述,只有(2,3),(3,2)兩組
答:5

我的思路:
看到式子第一個想到的是a^3+b^3+c^3-3abc的那個恐怖公式
但找不到3abc,右邊不是(pq)^3
反正那個公式也真的很恐怖,沒去代
想說解不出來再去試他
看到p,q為質數就先試奇偶性質,結果沒用
再來想到整除,也就是p^2整除q^3+1
變一下是p^2整除(q+1)(q^2-q+1),先留著
看到下面寫的,就想乾脆把能用的都用來淘汰其他解
(2,2)這個錯解讓我忍不住去先淘汰p=q的狀況
---------------------------
若p=q,則p^3(p-2)=1
p=2不合,p>=3也易證不合
故p不=q,不妨設p>q
---------------------------
就這段快速秒完
後面"不妨設p>q"是緊接而上的想法
然後(2,3)這組我馬上換成(3,2)
又讓我想去分q=2,q>=3兩種情況
----------------------------------------------------------
(1)若q=2,則p^2(p-4)=-9,p=3合,p>=5易證不合
-----------------------------------------------------------
快速秒掉q=2的
q>=3,我馬上將p>q升級為p>q+1
q+1又讓我想起前面的p^2整除(q+1)(q^2-q+1)
順便就將他變成p^2整除(q+1)[(q+1)^2-3q]
剛好結合起來,大概再花5分鐘
-----------------------------------------------------------------
(2)若q>=3,p>q,p>q+1,而p^2整除(q+1)[(q+1)^2-3q]
故p(沒平方)整除q+1或p^2整除(q+1)^2-3q
而兩者易證矛盾,故q>=3無解
-----------------------------------------------------------------
這段出來就結束了
所以其實思路好像是靠各位ㄝ

引用：

zaq1bgt5cde3mju7 寫道:

引用：

zaq1bgt5cde3mju7 寫道:
嘿嘿,解出來了
只有(2,3)和(3,2)這組
粗略證明一下
證明:
若p=q,則p^3(p-2)=1
p=2不合,p>=3也易證不合
故p不=q,不妨設p>q
(1)若q=2,則p^2(p-4)=-9,p=3合,p>=5易證不合
(2)若q>=3,p>q,p>q+1,而p^2整除(q+1)[(q+1)^2-3q]
故p(沒平方)整除q+1或p^2整除(q+1)^2-3q
而兩者易證矛盾,故q>=3無解
綜上所述,只有(2,3),(3,2)兩組
答:5

我的思路:
看到式子第一個想到的是a^3+b^3+c^3-3abc的那個恐怖公式
但找不到3abc,右邊不是(pq)^3
反正那個公式也真的很恐怖,沒去代
想說解不出來再去試他
看到p,q為質數就先試奇偶性質,結果沒用
再來想到整除,也就是p^2整除q^3+1
變一下是p^2整除(q+1)(q^2-q+1),先留著
看到下面寫的,就想乾脆把能用的都用來淘汰其他解
(2,2)這個錯解讓我忍不住去先淘汰p=q的狀況
---------------------------
若p=q,則p^3(p-2)=1
p=2不合,p>=3也易證不合
故p不=q,不妨設p>q
---------------------------
就這段快速秒完
後面"不妨設p>q"是緊接而上的想法
然後(2,3)這組我馬上換成(3,2)
又讓我想去分q=2,q>=3兩種情況
----------------------------------------------------------
(1)若q=2,則p^2(p-4)=-9,p=3合,p>=5易證不合
-----------------------------------------------------------
快速秒掉q=2的
q>=3,我馬上將p>q升級為p>q+1
q+1又讓我想起前面的p^2整除(q+1)(q^2-q+1)
順便就將他變成p^2整除(q+1)[(q+1)^2-3q]
剛好結合起來,大概再花5分鐘
-----------------------------------------------------------------
(2)若q>=3,p>q,p>q+1,而p^2整除(q+1)[(q+1)^2-3q]
故p(沒平方)整除q+1或p^2整除(q+1)^2-3q
-----------------------------------------------------------------
這段出來就結束了
所以其實思路好像是靠各位ㄝ

拍手拍手
你的思路真清淅
你好厲害
我把這題目想複雜了