我想請問大家四個問題，前提都是周長一模一樣 :-D ：
1.三角形內，誰面積最大？
(我只求出等腰直角三角形比正三角形小)
2.四邊形內，誰面積最大
(我只求出正方形比長方形大)
3.N邊形內，是否是正N邊形面積最大？(我猜是啦)
4.所有形狀內，那種形面積最大？
(我知道是圓形，但是：Why？ :-? )

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我不知道該放在哪一區，不過還是放在這了
這裡的「高手」好像很多 8-)
國中
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回應

wanghp

2011-01-23 13:12
從 1.2. 點可以看出你的經驗不是很多
因為事實上 證明完 4 前面就很簡單了

Wiki 有
點我

不過它沒有對證明內容敘述得很詳細
我可以試著解釋給你聽
（但是這不是「正確」的證明）

首先你的圖形不能是「凹的」
不然就像 Wiki 裡的圖片
我把它「翻出去」面積就更大了

再來
我從任意點 A 開始 ... 沿著邊邊走「一半」的周長 走到 B
所以 A 和 B 是「搖搖相望的兩個點」
連接 AB 把整個圖形切成兩半

這兩半可能有某一邊比較大
我就用比較大的那一邊取代比較小的那一邊
（用鏡子翻過去的意思）

這是因為 弧AB 跟 弧BA 一樣長 所以翻過去之後面積不變
現在我們有了一個對稱的圖形
我在左邊選一個點 C 然後把 C 反射到 D
那 角ACB 應該要跟 角ADB 一樣吧 畢竟它們是對稱的

可是這個角不一定是直角 如果不是
我們就可以偷偷把它「壓」成直角
其中 AC CB BD DA 四條邊旁邊的「弓形」要保持不變

妳會發現 既然弓形保持不變 它的面積就不會改變
面積改變的地方是中間那個「箏形」 它變大了！
這是因為 AC 跟 CB 長度不變 於是面積取決於它們夾的角
而直角會讓他最大！

所以我們就得出
如果這個圖形的面積要是最大的
它一定「到處都是直角」才對
沒錯
這個形狀就是「圓」

證明完畢（假裝）



現在來講 1.2.3.
同樣用反證法

假設你畫出了一個多邊形 邊長分別是 a, b, c, d, ...
那麼我可以適當的選擇一個圓 並在上面畫出以這些邊為邊長的多邊形

意思就是圓上有 A, B, C, D, ....... 這些點
AB = a
BC = b
CD = c
依此類推

然後我們用剛剛那個「壓來壓去」的做法
保持AB, BC, CD 旁邊的弓形不要變
偷偷把 A, B, C, D ... 壓成你心目中的那個形狀

可是你會發現 如果你再回頭看原本的圓的圓周所圍出來的面積
因為圓周已經被妳扭得亂七八糟了
自然它的面積會變得比原來那個圓小
可是弓形的面積不會變啊

所以
代表你的多邊形的面積變小了
如果你要多邊形的面積最大
那它的各個頂點就非在圓周上不可

現在來證明為什麼要是「正」的
考慮相鄰的三個點 ABC

假如我現在偷偷移動 B
只有三角形 ABC 的面積會改變 其它部份不會
而三角形 ABC 的面積什麼時候最大呢（在圓上）
當然就是形成等腰三角形的時候
因為那個時候它的高最高

所以 弧AB = 弧BC
同樣的道理
所有的弧都會一樣大
那他就非得是正多邊形不可了！


（我打得好累） = =