環球城市數學競賽2010秋季賽高級卷初中組試題

高級卷難爆了!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
只會兩題.........................................
兩題寫完後剩下的四小時多只能猛盯題目,靈感也沒爆出來!!...


1.在給定的直線L上任取相異三點A,B,C(B在AC上)
用圓形硬幣過A,B作兩圓P,Q,過B,C作兩圓R,S
其中P,R在L的同側,P,Q在L的異側,R,S在L的異側
若圓P交圓R異於B的一點M,圓Q交圓S異於B的一點N
那麼M,N即為所求
證明:顯然M,N是以L為對稱軸的兩對稱點,故MN垂直L

烏烏 你的證法有問題
硬幣不一定能過A B作圓

引用：

zaq1bgt5cde3mju7 寫道:
高級卷難爆了!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
只會兩題.........................................
兩題寫完後剩下的四小時多只能猛盯題目,靈感也沒爆出來!!...


1.在給定的直線L上任取相異三點A,B,C(B在AC上)
用圓形硬幣過A,B作兩圓P,Q,過B,C作兩圓R,S
其中P,R在L的同側,P,Q在L的異側,R,S在L的異側
若圓P交圓R異於B的一點M,圓Q交圓S異於B的一點N
那麼M,N即為所求
證明:顯然M,N是以L為對稱軸的兩對稱點,故MN垂直L

第二題證明步驟
(1)將分母偶數歸納為分母奇數
(2)證明1/(P+Q)成立
(3)證明一般情況成立
明天再打

第三題也有證明 不過要付圖比較易懂
第七題答案好像是N-1還N的樣子
第四、五題臨門一腳

引用：

WENDYCHI 寫道:
烏烏 你的證法有問題
硬幣不一定能過A B作圓

直接過圓上一點畫圓 會交直線於另一點
再過這個點畫一個圓 會交出另外第三個點

反正就用這三個去畫了



第二題 對 p+q=k 作第二數學歸納法

顯然 p+q=1 及 p+q =2 都是容易的

假設對所有 ＜n 的 k 都可以做出的話
考慮 k=n 的情形

若 k 是偶數 則作 A, B兩點的中點 M
　 原本 p=q 的話 M 即為所求
　 p＜q 的話 原題變成求 AM之間的 p : q-(p+q)/2
　　 p + [q-(p+q)/2] ＜ k 依歸納法成立
　 p＞q 同理

若 k 是奇數 則作 (k+1)/2 : (k-1)/2 得 N
　 原本 p=q+1 的話 N 即為所求
　 p＜q+1 則作 AN 之間的 p : q-(p+q+1)/2
　 p＞q+1 則作 NB 之間的 p-(p+q+1)/2 : q
　　 兩者都因歸納法成立

故得證

第三題我有搞錯題意嗎??
它說的"再度位於同一點"的點是指起點還是兩人在同一位置??
有人說是在同一位置的意思(我國語爛...)

第二題有人寫了,我就不寫了
第五題的上限我只有算到3.5

第一題
反正用等圓作出對稱點就對了，我的方法是用了4個圓

第二題
任何一個線段的中點，相當於把偶數對分；分為長度比為n : n+1的兩條小線段，相當於打一奇數分成兩數a,b，且a,b之差為1
因對所有偶數對分可能的情形只有兩種：若是兩個偶數則在對分，若是兩個奇數，將其拆分成兩個差為1的數。因1=a+b=0+1，而對所有奇數可表示為1+2K，即1+2k=a+b=(0+k)+(1+k)
故對所有長度比p:q，可經由有限次操作將線段分成p+q條等長的線段，即得到p:q的線段長

第三、四題先省...

第五題跟高級卷某題很像，其實推的過去
題目要求的比值跟1去減，再用三角形兩邊和大於第三邊就出來了
設五邊形五邊長為a,b,c,d,e
e/(a+b+c+d) - e/(a+b+c+d+e) = e^2/(a+b+c+d+e)(a+b+c+d) 其餘同理
可得e^2/(a+b+c+d) + ......(a,b,c,d,e為輪換輪) < a+b+c+d+e
從三角形邊長關係可得e^2/(a+b+c+d) < e
進而命題得證

第六題
剛看完題目整個呆掉，k點是動點耶，在B,C中垂線上。想了好久，乾脆直接移到直角座標係，用解析幾合去帶，結果居然能證的出來@@

第七題
這題省略....


這是我想到的啦～當然考試沒寫那麼多
還有很多遺漏的部分，大家給點指導吧！
第六題還有什麼方法嘛?

引用：

h5795901 寫道:


第五題跟高級卷某題很像，其實推的過去
題目要求的比值跟1去減，再用三角形兩邊和大於第三邊就出來了
設五邊形五邊長為a,b,c,d,e
e/(a+b+c+d) - e/(a+b+c+d+e) = e^2/(a+b+c+d+e)(a+b+c+d) 其餘同理
可得e^2/(a+b+c+d) + ......(a,b,c,d,e為輪換輪) < a+b+c+d+e
從三角形邊長關係可得e^2/(a+b+c+d) < e
進而命題得證

直接點下面連結比較快

假設 a_0 最大 且 S 是邊長的總和

方程式點我


請特別注意足標跟求和的上下限

引用：

h5795901 寫道:

第六題
剛看完題目整個呆掉，k點是動點耶，在B,C中垂線上。想了好久，乾脆直接移到直角座標係，用解析幾合去帶，結果居然能證的出來@@

這一題不要把 P 當動點 應該要把 A 當動點

家裡有 GSP 或是 Geogebra 的自己畫畫看就知道了


首先假設 A 跟 P 重合的話... K 點顯然是三個中垂線的交點、PBC 的外心

如果偷偷把 A 往上拉....... 那 EF 也會往上相同的距離 （中點...所以往上一半的距離）


又 PB, PC 方向不變（ P 沒動） 所以兩垂線方向不變

加上它們的「起始點」 （我指的是 E 和 F ）往上移動相同的距離


所以K 也只會偷偷往上移動相同的距離



除此之外有個拿 A 把兩條垂線放大兩倍的方法

不過基本上意思是一樣的

就是證明 K 和剛剛所謂的「外心」連線平行 AH ...... 意即, 擁有相同的 x坐標（如果你圖的方向跟我一樣的話

這個「外心」也可以是某個你畫出來的點 但總之是一個定點（不然很難求它的位置

引用：

WENDYCHI 寫道:

第七題答案好像是N-1還N的樣子

幾乎是了

證明上限的方法是

假設梅林第一天為每一個騎士做了名牌

名牌就按照騎士（第一天）的座位順序排序


每一天開會之前（騎士換好位子之後）

他會順時針繞著圓桌 按照名牌的順序發到騎士的位子上

從第一位騎士的位子開始發最後再走回這個位子

注意：他只能順時針繞著圓桌 並且必須按照騎士第一天的座位順序發放名牌

所以她很可能繞不只一圈 但總之是整數圈


For example,

第一天的順序是 A, B, C, D, E

梅林從 A 開始

A! => B! => C! => D! =>E! =>A

（驚歎號代表她在這個地方發了名牌 所以最後一個 A 沒有驚歎號 剛好發完就走完一圈


假設第二天的順序是 A, C, E, D, B

梅林一樣從 A 開始

A! => C => E => D => B! => A => C! => E => D! => B => A =>C => E! => D => B => A

走了三圈 （因為一共出現 4 次 A）


重要的來了!!!

我們說梅林每一天因為發放名牌而繞的圈數是一個不變量（在騎士的換位子變換之下）

也就是說

如果某兩天梅林繞的圈數是不一樣多的 騎士就不能換成相同的位子

反之 如果某一天梅林安排的位子讓圈數跟之前重複了 騎士就可以換到跟之前一樣




首先證明可以開至少 n 天的會

（從繞 1 圈到繞 n-1 圈 共有 n-1 ， 第 n 天就當聚餐吧）

我們定義「距離」D_i

是梅林從第 i-1 個人走到第 i 個人需要繞幾圈（方向是順時針）

當然這個數不會超過 1

所以我們就可以得到

梅林某一天需要繞的圈數 = D_1 + D_2 + D_3 + ... + D_n


現在考慮 第 i 個人跟 第 j 個人偷偷換位子

我們知道 | i-j | ≠ 1

所以 D_i + D_{i+1} 不變 （梅林從第 i-1 個人走到第 i+1 個人的距離不變）

這是因為第 i 個人只是在 第 i-1 個人 和 i+1 個人 之間偷偷移動一下

所以剛剛那兩個距離一個增加一點點 一個減少一點點 （取決於那個騎士的屁股有多大）


同理 D_j + D_{j+1} 不變



所以!!!

梅林某一天需要繞的圈數 = D_1 + D_2 + D_3 + ... + D_n 不變

這就完成了證明




證明不能超過 n 天比較麻煩

但總之就是想辦法挪動騎士的屁股


例如可以每天都座成

k, k-1, k-2, k-3, ..., 4, 3, 2, 1, k+1, k+2, k+3, ..., n-2, n-1, n

這樣梅林總共要繞 k 圈

是n嗎？
我怎麼算都是3天呀！ (包含終止會議那天)


算了，先喝一杯吧

請問孫老師不會的題目
是指第四~六題嗎？

YA!!第四題真如孫老師說的靈感爆發就解決了!!
(於今日(2010/12/01)早上約09:10正要趴下來睡覺時)


4.沒有圖太難說了

以上
有錯字= = 懶得改了

引用：

WENDYCHI 寫道:


以上
有錯字= = 懶得改了

然後呢??你目前的解法好像已經有誤了
有時間用你的圖我來補我的證明好了

狀況就兩種啊= =
皆有對角線的情況證明不可能了
然後證明有一個沒對角線就洽有兩個對角線

我是指你第二個圖的接法
這種情況:
[口]
[口] (口)
-----(口)
可不同向

我要去洗澡了

其實我的解法幾乎跟你一樣,只是我是在大矩形邊邊解的
我發現它可以用在整個大矩形內部耶
順便補齊你的缺陷
這兩種情況:

(口)
(口)[口]
[口]

(口)
(口)[口 口]

不同向的時候
為了補齊其中一個 角落
可發現會無限延伸補不完
請你領悟看看,我自己的證明不寫了,道理類似你的
這樣綜合你的能證全部的小矩形連的對角線皆同向
當然命題獲證

今天段考的時候，突然想到了第6題很簡單的證法
只用到畢氏定理而已
給個提示：連P和K
這樣應該都能推的出來了吧！

因未有三個90度
所以一定會有兩個角是相鄰的

zaq1bgt5cde3mju7 寫道:
我是指你第二個圖的接法
這種情況:
[口]
[口] (口)
-----(口)
可不同向
----[口]
----[口] (口)
{口 口} (口)
這裡有一個

因未有三個90度
所以一定會有兩個角是相鄰的

zaq1bgt5cde3mju7 寫道:
我是指你第二個圖的接法
這種情況:
[口]
[口] (口)
-----(口)
可不同向
----[口]
----[口] (口)
{口 口} (口)
這裡有一個

6.
設點G為邊BC之中點，然後再用題目給的條件就可以了。
這一題我在設出了G點之後，望著那個點，思考了半小時......考試時就這樣把半小時浪費掉了。

沒有人要討論第七題嗎？
這是我最大的疑問耶！
我寫完之後和我的同學爭論不休
我說是3，他說跟n有關係
>< >< ><看了那位大大的證明法還是不懂
也找不自己到底是哪裡錯啦！
------------------------------------我是分隔線-----------------------------
話說，什麼時侯公佈分數？這不重要
最重要的是我好想知道是我對還是他對(意思就是答案囉)
順看看解法~~

引用：

wanghp 寫道:
我們說梅林每一天因為發放名牌而繞的圈數是一個不變量（在騎士的換位子變換之下）

也就是說

如果某兩天梅林繞的圈數是不一樣多的 騎士就不能換成相同的位子

反之 如果某一天梅林安排的位子讓圈數跟之前重複了 騎士就可以換到跟之前一樣

是否沒有考慮在一天之內出現同樣的情形？
例：有ABCDE五人，第一天A與B，C相鄰

若第二天的座位為：
////////A///////
///B/////////D
//////E////C/
則A與B不能換位置，但A與D能換位置：
/////////D///////
////B/////////A
///////E///C//
A與D能再次換位置：
////////A//////
///B////////D 重複囉！
//////E///C/
---------------------------------------------------------------------------
若有誤會的地方請見諒

引用：

WENDYCHI 寫道:
因未有三個90度
所以一定會有兩個角是相鄰的

zaq1bgt5cde3mju7 寫道:
我是指你第二個圖的接法
這種情況:
[口]
[口] (口)
-----(口)
可不同向
----[口]
----[口] (口)
{口 口} (口)
這裡有一個

那你如何證明同向的會通到對角??
或許是不同向的通到對角啊

我的方法一個接一個只會往對角走

這題沒幾個人寫的出來吧 太難敘述了

的確啦～
第四題考試時直接被我跳掉
到之後才回來想了一下
當然沒什麼結果

第六題
用到畢氏定理衍生出來的性質
一個四邊形若對角線垂直
則兩雙對邊的平方的和相等(這很容易證的)

連接PK
可得到3個這樣的四邊形
FPKB,PECK,AEPF
則有
FP^2+BK^2=FB^2+PK^2
PK^2+EC^2=PE^2+KC^2
FP^2+AE^2=PE^2+AD^2
又AE=EC,AF=FB
可得到BK^2=KC^2
BK=+-KC(負不合) 得證

引用：

h5795901 寫道:
的確啦～
第四題考試時直接被我跳掉
到之後才回來想了一下
當然沒什麼結果

我同意
真的很難
一開始的想法是從外面推進去…
可是好像行不通…
所以就寫別題嚕！

引用：

h5795901 寫道:
第六題
用到畢氏定理衍生出來的性質
一個四邊形若對角線垂直
則兩雙對邊的平方的和相等(這很容易證的)

連接PK
可得到3個這樣的四邊形
FPKB,PECK,AEPF
則有
FP^2+BK^2=FB^2+PK^2
PK^2+EC^2=PE^2+KC^2
FP^2+AE^2=PE^2+AD^2
又AE=EC,AF=FB
可得到BK^2=KC^2
BK=+-KC(負不合) 得證

關於取四邊形的那一步
四邊形AEPF中EF一定跟垂直高(AP，也就是AH)垂直嗎？
我目前做的圖是垂直啦…

當然啊,EF為三角形ABC的一條中位線
故EF//BC,又BC垂直AH,可知EF垂直AH

引用：

zaq1bgt5cde3mju7 寫道:
當然啊,EF為三角形ABC的一條中位線
故EF//BC,又BC垂直AH,可知EF垂直AH

謝謝您！我懂了！

成績出來了~~~
不過我想知道我是錯哪一題啊……

三等獎啊…再接再厲吧！

拿到成績單了
環球真恐怖，我只拿到一題全對，一題5/7，3一題2/7而已

我只有初級卷滿分(五題都滿分)
高級卷前兩題滿分......
後面當時全部都不會,0分......
說實在的,第三題是國文弄錯
不然我也會

引用：

zaq1bgt5cde3mju7 寫道:
我只有初級卷滿分(五題都滿分)
高級卷前兩題滿分......
後面當時全部都不會,0分......
說實在的,第三題是國文弄錯
不然我也會

哇，你好厲害哦
我那個時候初級第一題太執著於化簡
沒想到如果那個時候不要偷懶就可以拿滿分了
唉