有一三角形ABC和他的外接圓O1 現在有一個圓O2內接於圓O1 且和AB.AC相切 切點D.E P為DE中點 證明:P為三角形ABC內心國中 發表回應前，請先登入 回應 qq90212g Re: 內心 2010-04-15 19:16 圖片如下 lingfuzhang Re: 內心 2010-05-23 12:10 這個題目在大陸1990年一本國三數學書上有介紹 作為一道思考題，也沒有答案 我做了一下： 不妨證明其逆命題：已知P為內心，O2切AB,AC，證明園O2切園O1于F（即使證O2F+O1O2=O1F） 連接D和O2，O1和O2，作過O1的O1H垂直AB于H 設AB=c,AC=b,角BAC 用正旋定理，余旋定理，勾股定理可以把O1O2,O1F,O2F，用b,c，角BAC表示出來 再通過代數變換可得兩邊相等 （极麻煩，有耐性可試一下） simon89889 Re: 內心 2010-05-24 17:40 延伸有... mosp某題是這麼寫到的，若P是三角形ABC的內心 ，求證:角BFP=角CFP simon89889 Re: 內心 2010-06-06 13:48 以F為位似變換中心作位似變換(就是縮放)使O2--->O1則D--->D' E--->E'(D',E'在圓O1上) 且不難證明D'為弧AB的中點，E'為弧AC的中點 我們知道BE'與CF'的交點是內心假設是P'，但是由帕斯卡定理D,P',E三點共線，所以P'為三角形ABC內心而且在DE上，所以P'=P 抱歉我粗略寫一下而已 突然想到這真是漂亮 糟糕圖太大了... 如果不知道為啥D',E'分別是弧AB和弧AC中點 我補述一下唄 顯然O2D和O2E分別垂直於AB和AC 他們經由縮放後變成O1D'和O1E'當然還是分別垂直AB和AC 這就代表了"D',E'分別是弧AB和弧AC中點" winston3221 Re: 內心 2010-06-09 19:07 使O2--->O1則D--->D' E--->E'(D',E'在圓O1上) 這句有點不懂， 為何使O2--->O1做相似變換的D'和E'必在圓上呢？ 還有可否解釋一下帕斯卡定理？ 跟您請教一下，感激不盡！ simon89889 Re: 內心 2010-06-09 23:21 首先，我們知道F,O1,O2共線(因為兩圓相切)，首先令圓O2半徑=r，圓O1半徑=R 我好怕會講很亂所以這樣想好了... 我們先只要看D,E,F三點就好 延長DF和EF各交圓O1於D',E'，過F做兩圓切線由弦切角可以知道DE平行D'E' 那麼三角形DEF相似於三角形D'E'F 他們的邊長比可以任意找一段弦來看，我找D'E'和DE 因為他們夾的弧一樣所以DE:D'E'=r:R 又F,O2,O1在同一條線上 所以由比例線段可以知道O1E'平行O2E，O1D'平行O2D 這時我們就說以F為位似變換中心，作位似變換O2--->O1 當然放大比例就是R/r，經過剛剛的證明可以知道D'和E'在圓O1上(圓O1也可以說是圓O2位似變換而來的) 帕斯卡定理 簡述一下 圓內接六邊形，三組對邊的三個交點共線 這六邊的頂點可以隨意(兩邊長交叉也沒關係) 像那張圖的六邊形叫做ABCD'FE'(或ABE'FD'C)，照順序畫就能找到對邊了(AB,CD',FE'互為對邊) 證明大部份書上都寫說用梅涅勞斯，網路上也有(維基)可以看看喔。 幾何明珠(九章出版社)是本好書，很多書局都有擺可以考慮去看看 對了順便去找"帕普斯定理"長的還蠻像的 myfund168 Re: 內心 2010-06-11 00:09 simon89889 解得很好！ 但讓我訝異的是： 網路上找到的 pascal 定理有兩個(至少)。 simon89889 用維基的定義，這樣好像怪怪的！ 令一個是 http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/ar/ar_wy_geo_08/page6.html 參考看看吧！ 另外 證明D'為弧AB的中點，E'為弧AC的中點， 應該不需圖形變換(就是縮放)便可簡單證明。 simon89889的文中大致也說了。 ∆DEF ～ ∆D'E'F (∵∠DEF=∠D'E'F) O2E⊥AC，∴O1E'⊥AC simon89889 Re: 內心 2010-06-11 06:29 不知道耶 因為有些書(幾何明珠)上都把它當六邊形看還是這是他原始的定理說明?... 有順序這樣可能比較好找對邊 而且如果用變換來做習慣後就變的簡潔(例如內切圓和旁切圓的問題)又好懂 把圖形玩來玩去比較好玩咩= = winston3221 Re: 內心 2010-06-13 11:20 感謝指導， 不過我很好奇你是怎麼想到這種方法的啊？ 是從哪一方面聯想的？ simon89889 Re: 內心 2010-06-16 00:39 因為有兩個圓以上，所以我就考慮兩圓的相似(因為跑不掉會扯上這個的).. 這樣很明顯把小圓放大原本的點就變成圖上的對應點了 其實畫成這樣也看了一段時間才想到用帕斯卡... 我就是因為腦力還沒到家才會想很久... 只能說關鍵步需要一點眼力和判斷力了 winston3221 Re: 內心 2010-06-16 11:49 嗯嗯 感謝指導 果然定理還是要夠熟悉才有利解題啊~
lingfuzhang Re: 內心 2010-05-23 12:10 這個題目在大陸1990年一本國三數學書上有介紹 作為一道思考題，也沒有答案 我做了一下： 不妨證明其逆命題：已知P為內心，O2切AB,AC，證明園O2切園O1于F（即使證O2F+O1O2=O1F） 連接D和O2，O1和O2，作過O1的O1H垂直AB于H 設AB=c,AC=b,角BAC 用正旋定理，余旋定理，勾股定理可以把O1O2,O1F,O2F，用b,c，角BAC表示出來 再通過代數變換可得兩邊相等 （极麻煩，有耐性可試一下）
simon89889 Re: 內心 2010-06-06 13:48 以F為位似變換中心作位似變換(就是縮放)使O2--->O1則D--->D' E--->E'(D',E'在圓O1上) 且不難證明D'為弧AB的中點，E'為弧AC的中點 我們知道BE'與CF'的交點是內心假設是P'，但是由帕斯卡定理D,P',E三點共線，所以P'為三角形ABC內心而且在DE上，所以P'=P 抱歉我粗略寫一下而已 突然想到這真是漂亮 糟糕圖太大了... 如果不知道為啥D',E'分別是弧AB和弧AC中點 我補述一下唄 顯然O2D和O2E分別垂直於AB和AC 他們經由縮放後變成O1D'和O1E'當然還是分別垂直AB和AC 這就代表了"D',E'分別是弧AB和弧AC中點"
winston3221 Re: 內心 2010-06-09 19:07 使O2--->O1則D--->D' E--->E'(D',E'在圓O1上) 這句有點不懂， 為何使O2--->O1做相似變換的D'和E'必在圓上呢？ 還有可否解釋一下帕斯卡定理？ 跟您請教一下，感激不盡！
simon89889 Re: 內心 2010-06-09 23:21 首先，我們知道F,O1,O2共線(因為兩圓相切)，首先令圓O2半徑=r，圓O1半徑=R 我好怕會講很亂所以這樣想好了... 我們先只要看D,E,F三點就好 延長DF和EF各交圓O1於D',E'，過F做兩圓切線由弦切角可以知道DE平行D'E' 那麼三角形DEF相似於三角形D'E'F 他們的邊長比可以任意找一段弦來看，我找D'E'和DE 因為他們夾的弧一樣所以DE:D'E'=r:R 又F,O2,O1在同一條線上 所以由比例線段可以知道O1E'平行O2E，O1D'平行O2D 這時我們就說以F為位似變換中心，作位似變換O2--->O1 當然放大比例就是R/r，經過剛剛的證明可以知道D'和E'在圓O1上(圓O1也可以說是圓O2位似變換而來的) 帕斯卡定理 簡述一下 圓內接六邊形，三組對邊的三個交點共線 這六邊的頂點可以隨意(兩邊長交叉也沒關係) 像那張圖的六邊形叫做ABCD'FE'(或ABE'FD'C)，照順序畫就能找到對邊了(AB,CD',FE'互為對邊) 證明大部份書上都寫說用梅涅勞斯，網路上也有(維基)可以看看喔。 幾何明珠(九章出版社)是本好書，很多書局都有擺可以考慮去看看 對了順便去找"帕普斯定理"長的還蠻像的
myfund168 Re: 內心 2010-06-11 00:09 simon89889 解得很好！ 但讓我訝異的是： 網路上找到的 pascal 定理有兩個(至少)。 simon89889 用維基的定義，這樣好像怪怪的！ 令一個是 http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/ar/ar_wy_geo_08/page6.html 參考看看吧！ 另外 證明D'為弧AB的中點，E'為弧AC的中點， 應該不需圖形變換(就是縮放)便可簡單證明。 simon89889的文中大致也說了。 ∆DEF ～ ∆D'E'F (∵∠DEF=∠D'E'F) O2E⊥AC，∴O1E'⊥AC
simon89889 Re: 內心 2010-06-11 06:29 不知道耶 因為有些書(幾何明珠)上都把它當六邊形看還是這是他原始的定理說明?... 有順序這樣可能比較好找對邊 而且如果用變換來做習慣後就變的簡潔(例如內切圓和旁切圓的問題)又好懂 把圖形玩來玩去比較好玩咩= =
simon89889 Re: 內心 2010-06-16 00:39 因為有兩個圓以上，所以我就考慮兩圓的相似(因為跑不掉會扯上這個的).. 這樣很明顯把小圓放大原本的點就變成圖上的對應點了 其實畫成這樣也看了一段時間才想到用帕斯卡... 我就是因為腦力還沒到家才會想很久... 只能說關鍵步需要一點眼力和判斷力了
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qq90212g
Re: 內心
2010-04-15 19:16lingfuzhang
Re: 內心
2010-05-23 12:10作為一道思考題，也沒有答案
我做了一下：
不妨證明其逆命題：已知P為內心，O2切AB,AC，證明園O2切園O1于F（即使證O2F+O1O2=O1F）
連接D和O2，O1和O2，作過O1的O1H垂直AB于H
設AB=c,AC=b,角BAC
用正旋定理，余旋定理，勾股定理可以把O1O2,O1F,O2F，用b,c，角BAC表示出來
再通過代數變換可得兩邊相等
（极麻煩，有耐性可試一下）
simon89889
Re: 內心
2010-05-24 17:40mosp某題是這麼寫到的，若P是三角形ABC的內心
，求證:角BFP=角CFP
simon89889
Re: 內心
2010-06-06 13:48且不難證明D'為弧AB的中點，E'為弧AC的中點
我們知道BE'與CF'的交點是內心假設是P'，但是由帕斯卡定理D,P',E三點共線，所以P'為三角形ABC內心而且在DE上，所以P'=P
抱歉我粗略寫一下而已
突然想到這真是漂亮
糟糕圖太大了...
如果不知道為啥D',E'分別是弧AB和弧AC中點
我補述一下唄
顯然O2D和O2E分別垂直於AB和AC
他們經由縮放後變成O1D'和O1E'當然還是分別垂直AB和AC
這就代表了"D',E'分別是弧AB和弧AC中點"
winston3221
Re: 內心
2010-06-09 19:07這句有點不懂，
為何使O2--->O1做相似變換的D'和E'必在圓上呢？
還有可否解釋一下帕斯卡定理？
跟您請教一下，感激不盡！
simon89889
Re: 內心
2010-06-09 23:21我好怕會講很亂所以這樣想好了...
我們先只要看D,E,F三點就好
延長DF和EF各交圓O1於D',E'，過F做兩圓切線由弦切角可以知道DE平行D'E'
那麼三角形DEF相似於三角形D'E'F
他們的邊長比可以任意找一段弦來看，我找D'E'和DE
因為他們夾的弧一樣所以DE:D'E'=r:R
又F,O2,O1在同一條線上
所以由比例線段可以知道O1E'平行O2E，O1D'平行O2D
這時我們就說以F為位似變換中心，作位似變換O2--->O1
當然放大比例就是R/r，經過剛剛的證明可以知道D'和E'在圓O1上(圓O1也可以說是圓O2位似變換而來的)
帕斯卡定理
簡述一下
圓內接六邊形，三組對邊的三個交點共線
這六邊的頂點可以隨意(兩邊長交叉也沒關係)
像那張圖的六邊形叫做ABCD'FE'(或ABE'FD'C)，照順序畫就能找到對邊了(AB,CD',FE'互為對邊)
證明大部份書上都寫說用梅涅勞斯，網路上也有(維基)可以看看喔。
幾何明珠(九章出版社)是本好書，很多書局都有擺可以考慮去看看
對了順便去找"帕普斯定理"長的還蠻像的
myfund168
Re: 內心
2010-06-11 00:09但讓我訝異的是：
網路上找到的 pascal 定理有兩個(至少)。
simon89889 用維基的定義，這樣好像怪怪的！
令一個是 http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/ar/ar_wy_geo_08/page6.html
參考看看吧！
另外
證明D'為弧AB的中點，E'為弧AC的中點，
應該不需圖形變換(就是縮放)便可簡單證明。
simon89889的文中大致也說了。
∆DEF ～ ∆D'E'F (∵∠DEF=∠D'E'F)
O2E⊥AC，∴O1E'⊥AC
simon89889
Re: 內心
2010-06-11 06:29因為有些書(幾何明珠)上都把它當六邊形看還是這是他原始的定理說明?...
有順序這樣可能比較好找對邊
而且如果用變換來做習慣後就變的簡潔(例如內切圓和旁切圓的問題)又好懂
把圖形玩來玩去比較好玩咩= =
winston3221
Re: 內心
2010-06-13 11:20不過我很好奇你是怎麼想到這種方法的啊？
是從哪一方面聯想的？
simon89889
Re: 內心
2010-06-16 00:39這樣很明顯把小圓放大原本的點就變成圖上的對應點了
其實畫成這樣也看了一段時間才想到用帕斯卡...
我就是因為腦力還沒到家才會想很久...
只能說關鍵步需要一點眼力和判斷力了
winston3221
Re: 內心
2010-06-16 11:49感謝指導
果然定理還是要夠熟悉才有利解題啊~